Des métriques variées
Dès la fin du XIXe siècle, les mathématiques s’emparent de la notion abstraite de distance en intégrant de nouvelles façons de la calculer dans le plan ou l’espace : distance « de Manhattan », distance en temps de parcours… On peut alors se demander à quoi ressemble le « cercle » correspondant. Des talents de dessinateur sont parfois nécessaires pour tracer les formes surprenantes qui répondent à la question.
L’axiomatisation du concept d’espace métrique permet aussi d’extrapoler la distance à la combinatoire, l’analyse, voire l’algèbre. Les objets considérés ne sont plus obligatoirement des points au sens classique. On peut alors, par exemple, définir une distance entre deux fonctions.
L’axiomatisation du concept d’espace métrique permet aussi d’extrapoler la distance à la combinatoire, l’analyse, voire l’algèbre. Les objets considérés ne sont plus obligatoirement des points au sens classique. On peut alors, par exemple, définir une distance entre deux fonctions.
LES ARTICLES
La genèse des espaces métriques
Bertrand Hauchecorne
Au début du XXe siècle, Maurice Fréchet et Felix Hausdorff ont vraiment eu la sensation de découvrir un Nouveau Monde : la théorie des ensembles leur a servi de cadre pour introduire le concept de distance, généralisation de la valeur absolue pour les nombres réels.
Si loin, si près…
Bertrand Hauchecorne
Quelle est la distance entre Paris et Rome ? Face à cette question, il est légitime de se demander si l’on sous-entend « à vol d’oiseau », « en train », « en voiture » ou « au sens euclidien ». Avec les distances ultramétriques, on découvre même un univers dans lequel tous les triangles sont isocèles.
Des distances parfois étonnantes
Daniel Lignon
La distance euclidienne dans le plan, c’est celle que tout le monde connaît : elle exprime que le chemin le plus court entre deux points est obtenu en ligne droite. Mais il en existe beaucoup d’autres, souvent atypiques. Certaines sont même très étonnantes…
Des boules dans le plan
Robert Ferréol
Une boule sphérique, c’est l’ensemble des points dont la distance à un centre est inférieure à une constante. Les mathématiciens, toujours en recherche de généralisation, acceptent cette définition d’une boule… dans n’importe quel espace, muni d’une « distance » quelconque.
Des formes surprenantes dans l’espace
Robert Ferréol
Comme dans le plan, on peut définir dans l’espace de nombreuses boules associées à des normes. On va trouver des polyèdres, certains réguliers, d’autres plus surprenants. On peut ainsi confectionner une jolie collection festive de boules assorties à votre prochain sapin de Noël !
En bref : Les normes dans les espaces de fonctions
Daniel LignonLa notion de distance peut également s'appliquer aux fonctions
Les dernières publications POLE
