Qui a enseigné les mathématiques a forcément été confronté à la confusion faite par les élèves entre tangente et asymptote. Ce n’est pourtant pas faute d’avoir dit, écrit, répété, recopié que la courbe s’approche de son asymptote sans jamais l’atteindre, alors que la tangente touche la courbe !
L’une concerne des points à distance finie, l’autre des points situés à l’infini. Oui, mais lorsque l’on trace des courbes, on ne va jamais jusqu’à l'infini ! Il existe pourtant un stratagème pour « voir » ce qui se passe à l’infini. Prendre de la hauteur, et regarder le graphe en perspective (penser à la vision de la piste de décollage par un pilote).
On va voir que les asymptotes deviennent des tangentes.
La construction d’une perspective
Prenons en effet de la hauteur. Ajoutons au plan (x O y) de la figure ci-dessous une troisième dimension (Oz) et plaçons les yeux d’un observateur en Ω, de coordonnées
(0, – d, h) où h est la hauteur depuis le « sol » (xOy) et d est la distance à l’« écran » (x O z).
L’observateur regarde à travers l’écran un point M de coordonnées (x, y, z). La droite (ΩM) coupe l’écran (x O z) en un point N dont on cherche les coordonnées xe et ye dans le plan ...
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