Des cascades numériques

Dans cette cascade numérique, la multiplication par 9…9 produit des motifs répétitifs. Comment l’expliquer ?

À la n^ième ligne de la cascade, on a :

Ainsi, pour n = 3, par exemple, on aura, pour résultat :

L’opération a fait « disparaître » la partie décimale des quotients.

Les cascades de ce type se justifient, dans le cas général, par l’égalité suivante :

où k est un entier compris entre 1 et 9 (dans l’exemple précédent, k = 4) et où n, qui représente le numéro de la ligne, désigne un nombre entier naturel non nul.

D’autres multiplications fournissent également d’intéressantes régularités.

Une autre égalité prolifique

Dans cette nouvelle égalité, n est un nombre entier non nul, et a et b peuvent prendre les valeurs 1, 2 ou 3 (la valeur 3 ramenant à l’égalité précédente).

En prenant a = 1 et b = 2, on obtient la cascade suivante :

33...3 × 66...6 = 22...2177...78,

dont le sommet est constitué par l’égalité 3 × 6 = 18,

dont le produit de gauche comprend n chiffres « 3 » et n chiffres « 6 »,

et dont le résultat à droite est composé de n – 1 chiffres « 2 » et n – 1 chiffres « 7 ».

Ainsi, pour n = 3, on obtient :

Trouvez une cascade numérique dont le sommet est constitué par l’égalité 7 × 8 = 56.