La moyenne harmonique
Il existe bien des façons de calculer une « moyenne ». Imaginons que vous parcouriez un chemin serpentant jusqu’au sommet d’une colline à 4 km/h à l’aller et à 6 km/h au retour. Quelle est votre vitesse moyenne ? Il est tentant de répondre 5 km/h, mais ceci est en fait la moyenne des vitesses, et non la vitesse moyenne !
Si le chemin mesure 1 km, il vous a fallu quinze minutes pour le parcourir à l’aller et dix minutes au retour, soit un total de vingt-cinq minutes, ou d’heure.
Finalement, votre vitesse sur l’ensemble du périple est de 2 / (25/60) = 4,8 km/h.
Cette moyenne-là est la moyenne harmonique :
Cette définition s’étend bien sûr à plus de deux réels.
On la rencontre aussi en électricité, puisque la somme des inverses des résistances de dipôles montés en parallèle est l’inverse de la résistance du dipôle équivalent.
Sur notre exemple, la moyenne harmonique (4,8) se révèle inférieure à la moyenne arithmétique (5). C’est en fait toujours vrai et pour le démontrer, il suffit d’appliquer… la moyenne arithmético-géométrique !
En effet, cette dernière appliquée aux inverses des réels xi (pour i variant de 1 à n) donne
et, par passage à l’inverse, on établit que la moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale à la moyenne géométrique, elle-même inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.
Une moyenne de plus
À côté des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique, il en existe une autre : la moyenne quadratique. Pour deux réels x1 et x2, elle est définie par
Elle se généralise pour n réels.
En probabilités, l’écart-type est défini comme la moyenne quadratique des écarts à la moyenne arithmétique. De manière plus générale, cette moyenne quadratique est utilisée lorsque l’on cherche à trouver la moyenne d’une quantité qui intervient au carré dans un phénomène. Par exemple, l’énergie cinétique d’une particule dépendant linéairement du carré de sa vitesse, la vitesse moyenne d’un ensemble de particules en agitation thermique est la moyenne quadratique des vitesses individuelles.
En élevant au carré, il est facile de voir que la moyenne quadratique est supérieure à la moyenne arithmétique :
et
Or,
car
Une moyenne qui regroupe tout
En fait, toutes les moyennes précédentes sont des cas particuliers de la moyenne d’ordre p, notée Mp , définie pour tout réel p non nul. Si x1, x2… xn sont n réels positifs, on a :
On retrouve les moyennes arithmétique pour p = 1, harmonique pour p = ‒1, quadratique pour p = 2. Comme la limite de Mp quand p tend vers 0 est égale à la moyenne géométrique, on définit M0 comme cette moyenne géométrique :
Ces moyennes vérifient une inégalité très importante : si p < q, on a Mp (x1, x2… xn) ≤ Mq (x1, x2… xn) et l’égalité entre les deux moyennes n’a lieu que si toutes les valeurs x1, x2… xn sont égales.
On retrouve ainsi les inégalités bien connues suivantes :
moyenne harmonique ≤ moyenne géométrique ≤ moyenne arithmétique ≤ moyenne quadratique.