La relation « inférieur ou égal », notée ≤ , est bien une relation d’ordre sur ces ensembles : elle vérifie les trois propriétés de base, à savoir la réflexivité (pour tout nombre x, on a x ≤ x), l’antisymétrie (pour tous les nombres x et y, si x ≤ y et y ≤ x, alors on a x = y) et la transitivité (pour tous les nombres x, y et z, si x ≤ y et y ≤ z, alors on a x ≤ z).
De plus, tous les nombres dans ces ensembles sont comparables ; autrement dit, ≤ est un ordre total.
La relation « supérieur ou égal », notée ≥ , vérifie bien sûr les mêmes propriétés.
Des règles à respecter
Tout ce qui suit est valable dans l’ensemble ℝ des nombres réels et, a fortiori, dans tout sous-ensemble de ℝ.
Pour l’addition, la manipulation des inégalités est simple : en ajoutant un même nombre (positif ou négatif) aux deux membres d’une inégalité, on ne change pas son sens : si x ≤ y, alors pour tout a, on a aussi x+a ≤ y+a ou x ‒ a ≤ y ‒ a. On en déduit qu’en ajoutant membre à membre deux inégalités de même sens, on forme une troisième inégalité, toujours de même sens : si x ≤ y et x’ ≤ y’, alors x + x’ ≤ y + y’. Cela exprime que la relation ≤ est ...
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