Le mathématicien russe Pafnouti Tchebychev se signale à la fois par la qualité et par la diversité de ses découvertes. Ses recherches en théorie des nombres ont abouti à quantité de résultats faisant intervenir des inégalités remarquables. L’une d’elles, connue sous l’appellation « inégalité de Tchebychev » (à ne pas confondre avec celle de Bienaymé‒Tchebychev, voir article « En probabilités : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev » ) , est assez simple à établir. Son intérêt est grand : cette inégalité intervient dans le cadre de démonstrations atrocement plus techniques, notamment dans la théorie des nombres premiers.
L’inégalité de Tchebychev
Considérons deux suites de nombres réels, toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, et comportant exactement le même nombre de termes, soit n. On note a1, a2, a3… an et b1, b2, b3… bn ces deux suites. Traitons par exemple du cas des suites décroissantes ; le raisonnement est le même pour les suites croissantes. Par hypothèse, on a ai ≥ ai +1 et bi ≥ bi +1 quel que soit l’entier i compris entre 1 et n ‒ 1.
Voyons (quels que soient i et j compris entre 1 et n) ce que l’on peut affirmer quant au produit (ai ‒ aj)×(bi ‒ bj). Déjà, on sait que les deux facteurs sont de même signe. ...
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