Comme il existe des échafaudages de fractions comptant une infinité d’échelons (les fractions continues, voir article « Racines et fractions continues »), on peut concevoir des expressions comportant une infinité de radicaux emboîtés les uns dans les autres (on pourrait appeler ces radicaux imbriqués des « racines continues »), ces expressions ayant un sens dès lors que l’on peut justifier le passage à la limite.
Notre première expression est d’apparence élémentaire : elle comprend une infinité de radicaux et de « 1 ». Que vaut cette expression ?
En élevant x au carré, on obtient l’équation x2 = 1 + x, qui admet pour solution positive (on dit aussi pour racine positive) x = (1 + √5) / 2. Vous aurez bien sûr reconnu le nombre d’or, qui vaut environ 1,618 (voir notre dossier « La vérité sur le nombre d’or », Tangente 203, 2022). Mais peut-on obtenir ainsi un nombre entier ? La réponse est positive. Remplaçons tous les 1 par des 2 :
En élevant au carré les deux membres de cette égalité, on obtient l’équation x2 = 2 + x, qui admet pour solution positive x = 2. Alors, peut-on écrire sous cette forme n’importe quel nombre entier positif ? La réponse est à nouveau positive. Voici comment écrire le nombre 3 :
Comment écrire un nombre entier naturel quelconque n sous une forme similaire ?
Prenons maintenant le problème à l’envers. Considérons la racine continue suivante :
Pour quelles valeurs de k cette expression (appelons-la X) est-elle égale à un nombre entier ?
Appliquons la même méthode que précédemment. L’équation X2 = k + X admet pour solution positive et cette solution est un nombre entier si, et seulement si, 4k + 1 est le carré d’un entier, c’est-à-dire si, et seulement si, k est le produit de deux entiers consécutifs (on appelle ces nombres des nombres oblongs ou proniques).
Une astuce due à Ramanujan
On ne peut parler de ces racines continues sans évoquer quelques-unes des merveilleuses formules trouvées par le génial mathématicien indien Srinivasa Ramanujan (1887‒1920). À partir de l’égalité (n + p)2 = 1 + (n + p – 1)(n + p + 1), on peut écrire :
Puis, en remplaçant, étape par étape, n + p par la racine correspondante :
En prenant n = 1, on obtient :
puis, en remplaçant n par 2, puis par 3 :