Matrices carrées et transformations du plan


Bertrand Hauchecorne

La notion de racine carrée peut s’étendre à des ensembles très généraux. On peut dès lors obtenir plus de deux, voire une infinité, de racines carrées ! Le cas des matrices en est un exemple. Les similitudes directes, abordées par le prisme des nombres complexes, nous ramènent à des résultats moins détonants.

Tout nombre réel strictement positif admet deux racines carrées. Il en va de même de tout nombre complexe non nul. Le fait d’avoir au plus deux racines carrées se vérifie plus largement dans tout ensemble que l’on appelle un corps. L’exemple de l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire les fractions, en est un exemple : avec r1 = 4/9, deux nombres sont tels que, élevés au carré, on retrouve r1 (à savoir, 2/3 et ‒2/3) ; r2 = 17 ne possède aucune racine carrée dans cet ensemble puisque le réel  est irrationnel et donc r2 n’est le carré d’aucune fraction. Pourtant, dans certains ensembles plus généraux, le nombre de racines carrées peut dépasser largement le nombre 2.

 

Les entiers modulo 8 ne forment pas un corps

Considérons l’ensemble des nombres entiers de 0 à 7 et munissons-le des opérations + et × suivantes : si le résultat habituel est inférieur ou égal à 7, le résultat de l’opération nouvelle est celui du calcul habituel. S’il dépasse 7, on conserve le reste de la division euclidienne par 8 du résultat. Ainsi, 4 + 7 = 3 puisque 11 = 8 + 3.

De même, 4×7 = 4 puisque 28 = 3×8 + 4.

Dans cet ensemble ... Lire la suite