Les cercles de Malfatti


Jean-Jacques Dupas

Dans un triangle, comment choisir trois cercles ne se superposant pas de manière à minimiser la surface du triangle privé des trois cercles ? Une solution naturelle, faisant intervenir des tangentes dans le triangle, n’est pas la meilleure, mais donne naissance à des problèmes intéressants.

Originaire d’un petit village des Alpes, le mathématicien italien Gianfrancesco Malfatti fit ses premières études chez les jésuites à Vérone. Puis, à l’université de Bologne, il fut l’un des fondateurs du département de mathématiques de l’université de Ferrare, ville d’Émilie-Romagne où il décédera en 1807. Il joua un rôle important dans la création de Prodromo della Nuova Enciclopedia Italiana (1779), ouvrage dans l’esprit de l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert.

 


Giovanni Francesco Malfatti (1731–1807).

 

Malfatti est essentiellement connu pour l’un de ses articles, publié en 1804 (Memoria sopra un problema stereotomico), dans lequel il se pose le problème suivant : comment choisir trois cercles, dans un triangle, ne se superposant pas, de manière à minimiser la surface du triangle privé des trois cercles ?

L’idée et la motivation de Malfatti étaient de tailler trois colonnes cylindriques dans un prisme à base triangulaire de marbre, et donc de minimiser les pertes de ce précieux matériau. Dans son article, il conjectura que les trois cercles devaient être tangents entre eux et chacun tangent à deux côtés du triangle. Malfatti détermina analytiquement ces trois cercles. Cependant, comme souvent quand un problème porte un nom, cette paternité est douteuse.

 

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références


Memoria sopra un problema sterotomico. Gianfrancesco Malfatti, Memorie di matematica e di fisica della Societa italiana delle scienze 10, 1803.
Historique et résolution analytique complète du problème de Malfatti. Jules Derousseau, Mémoires de la Société royale des sciences de Liège, 2 (18), 1895.
The Solution of Malfatti’s Problem, Victor Abramovitch Zalgaller et G.A. Los, 
Journal of Mathematical Sciences 72 (4), 1994.