Dans un polyèdre, le nombre de sommets S, de faces F, et d’arêtes A vérifient (en général) la relation S + F = A + 2, dite formule d’Euler (voir Tangente 174, 2017). Ce joyau des mathématiques transforme des problèmes de géométrie en problèmes d’arithmétique, jetant un pont merveilleux entre deux mondes, sans se préoccuper des dimensions des objets ; la relation préfigure donc la topologie.
À l’origine, Descartes
Dans son texte Progymnasmata de solidorum elementis (« Exercices pour les éléments des solides »), René Descartes (1596−1650) énonce un théorème : la somme des déficits des sommets vaut huit angles droits. Par déficit d’un sommet, il faut comprendre le complément à 360° de la somme des angles des faces qui concourent à ce sommet.
Par exemple, pour un tétraèdre régulier, trois triangles équilatéraux se joignent en un sommet. Or, 3 × 60° = 180° ; on a donc un déficit de 360° − 180°, soit 180°, en chacun des quatre sommets. Pour un cube, trois carrés se joignent à chaque sommet. Or, 3 × 90° = 270° ; on a donc un déficit de 360° − 270°, soit 90°, en chacun des huit sommets.
Le théorème de Descartes traduit un fait que chaque amateur de polyèdres a remarqué : moins ...
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