L'autoréférence (1)
L'autoréférence est à la source de paradoxes bien connus, mais aussi d'une profonde crise dans les fondements de la logique et des mathématiques. Au cœur du fameux théorème d'incomplétude de Gödel, on peut trouver une variante de la phrase « Cette proposition est fausse ».
Au-delà d'épineux problèmes philosophiques, l'autoréférence permet de jouer avec l'infini, aussi bien dans l'art que dans les mathématiques. Ainsi, certaines suites de nombres possèdent des symétries qu'on n'aurait jamais pu imaginer sans avoir réfléchi sur la riche notion d'autosimilarité, qui fait découvrir, pour notre plus grand plaisir, des suites « autodescriptives » et même « fractales ». Les lecteurs découvriront la suite de cet ambitieux dossier en deux parties dans le prochain numéro (Tangente 192).
Au-delà d'épineux problèmes philosophiques, l'autoréférence permet de jouer avec l'infini, aussi bien dans l'art que dans les mathématiques. Ainsi, certaines suites de nombres possèdent des symétries qu'on n'aurait jamais pu imaginer sans avoir réfléchi sur la riche notion d'autosimilarité, qui fait découvrir, pour notre plus grand plaisir, des suites « autodescriptives » et même « fractales ». Les lecteurs découvriront la suite de cet ambitieux dossier en deux parties dans le prochain numéro (Tangente 192).
LES ARTICLES
Paradoxes et autocontradictions
Philippe Boulanger
Source d'amusements, l'autoréférence est aussi à l'origine de célèbres et profonds paradoxes mathématiques. La logique, les sens, les certitudes sont mis à rude épreuve. La réflexion prend alors le pas… et conduit souvent à l'émerveillement !
Jouer avec des nombres
Éric Angelini
Les chiffres d'un nombre ou les éléments d'une suite de nombres peuvent-ils eux-mêmes informer le lecteur de leur place ou de leurs propriétés ? C'est possible avec certaines constructions astucieuses !
Autoréférence et point fixe
Hervé Lehning
L'autoréférence est paradoxale, liée à la notion mathématique de point fixe et à la méthode des approximations successives, ainsi qu'aux définitions récursives. Autant de relations qui font de cette notion fondamentale un sujet de choix pour les amateurs de mathématiques.
Les suites autodescriptives sont assez connues des amateurs de mathématiques, mais on en ignore souvent l'histoire. On méconnaît sans doute plus encore les travaux de celui qui a contribué à leur donner leurs lettres de noblesse, John Conway, qui consacre sa vie à s'amuser avec les maths.
En bref : Quelques autoréférences textuelles
Éric AngeliniLes jeux avec le langage sont un terrain de choix pour l'autoréférence. On en trouve dans les ouvrages de Douglas Hofstadter (voir Tangente 131, 2009, et Tangente 154, 2013) et dans moult travaux anonymes (trouvés sur la Toile par exemple), apocryphes ou bien attestés. En voici un florilège.
En bref : Pratiques textuelles
Éric AngeliniLes mots fournissent également de belles occasions de curiosités autoréférentes. Découvrez-en quelques unes.
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