C’est le mathématicien allemand Georg Cantor (1845‒1918) qui, en étudiant certaines classes d’ensembles totalement ordonnés dans le cadre de ses recherches sur les séries trigonométriques, a ouvert la voie à la théorie générale des relations d’ordre. À sa suite, son compatriote Felix Hausdorff (1868‒1942), dans les années 1910, a approfondi la théorie. Plus tard, avec les développements de la théorie axiomatique des ensembles, la théorie des treillis et ensuite l’étude des structures discrètes, la notion d’ordre a acquis la place qu’elle mérite au sein des mathématiques pures et appliquées.
Les relations d’ordre
Derrière cette notion qui apparaît simple, trois propriétés ont été caractérisées. Dans un ensemble P, une relation binaire (c’est-à-dire entre deux éléments de P), notée , est dite d’ordre si :
• elle est réflexive : on a toujours x x quand x appartient à P ;
• elle est antisymétrique : si x y et y
x, on a x = y quand x et y appartiennent à P ;
• elle est transitive : si x y et y
z, alors x
z quand x, y et z appartiennent à P.
C’est sans doute cette troisième propriété qui est la plus simple à comprendre : on ...
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