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Les chaînes de Markov servent à modéliser les processus probabilistes sans mémoire. Elles peuvent être utilisées pour analyser et mettre au point des politiques de gestion de personnels dans les très grandes entreprises en modélisant les promotions internes.

Comment les chaînes de Markov et donc les mathématiques peuvent-elles s'introduire dans la gestion du personnel d'une entreprise ? Voyons-le sur un exemple. Il s'agit de l'évolution des carrières des cadres d'une grande entreprise, dont l'effectif est supposé constant, disons 5 700 employés. Il y existe cinq niveaux hiérarchiques, notés A, B, C, D et E. L'évolution annuelle de chaque cadre est schématisée dans le diagramme suivant :

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La constance des effectifs signifie que le recrutement annuel équivaut, en nombre, les départs vers l'extérieur. De plus, d'après le schéma, chaque année, 10 % des effectifs du niveau A est promu au niveau B, 10 % de B au niveau C, tandis que 30 % quitte l'entreprise, et ainsi de suite. Il s'agit d'un exemple de chaîne de Markov et, de l'extérieur, les pourcentages peuvent être vus comme des aléas, même si individuellement les promotions ne sont pas aléatoires.

Si on note a_n, b_n, c_n, d_n et e_n les effectifs respectifs des niveaux A, B, C et D à l'année n, le schéma précédent se traduit par les relations de récurrence suivantes :

$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=0,9a_n+0,3b_n+0,3d_n+0,4e_n\\ b_{n+1}=0,1a_n+0,6b_n\\ c_{n+1}=0,1b_n+0,8c_n \\ d_{n+1}=0,2c_n+0,5d_n \\ e_{n+1}=0,3d_n+0,6e_n \end{array} \right.$

ce qui s'écrit matriciellement X_n₊₁ = X_n A, où X_n est ... Lire la suite

La boîte à outils mathématique : chaînes de Markov et algèbre matricielle

Les chaînes de Markov sont un outil important pour étudier les phénomènes aléatoires dépendant du temps ; ce sont des processus pour lesquels une variable peut prendre dans l'absolu plusieurs états (un seul état à chaque instant) et qui possède la propriété de Markov suivante : à un instant donné, l'état d'une chaîne de Markov ne dépend que de l'état précédent. Considérons une suite d'épreuves E₁, E₂… E_k… dont les résultats possibles appartiennent à un ensemble fini {S₁, S₂… S_n}. La chaîne de Markov se trouve dans l'état S_i à l'étape numéro k si le résultat de la k^ème épreuve E_k est S_i, pour autant que la condition technique suivante soit satisfaite : la probabilité p_i,j pour que le système passe, lors d'une seule épreuve, de l'état S_i à l'état S_j (i et j compris entre 1 et n) ne varie pas au cours du temps. Cette probabilité ne dépend donc pas des épreuves antérieures à E_k et est indépendante du numéro k de l'épreuve au cours de laquelle s'effectue cette transition. Une chaîne de Markov se modélise naturellement à l'aide d'un graphe, ou à l'aide d'une matrice, ici A.

La propriété des lignes de A (dont la somme des éléments est toujours égale à 1) montre que A × U = U si U est le vecteur colonne dont toutes les coordonnées sont égales à 1. Lorsque A × U = rU, avec r un réel, on dit que r est valeur propre de A associée au vecteur propre U. Le nombre 1 est donc valeur propre de A. Toutes les autres valeurs propres (l₁, I₂, l₃ et l₄) sont distinctes, de modules strictement inférieurs à 1. On en déduit que A est diagonalisable, c'est-à-dire qu'il existe une matrice P inversible tel que A = P × D × P^–1 où D est la matrice diagonale de taille 5 × 5 dont les éléments diagonaux sont 1 suivi des l. En conséquence, Aⁿ = P × Dⁿ × P^–1, avec Dⁿ la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont 1 suivi des lⁿ. Ces derniers termes tendent tous vers 0, donc Dⁿ tend vers ?, la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont 1 suivi de zéros. Il s'ensuit que Aⁿ tend vers P × ? × P^–1, donc X_n vers X₀ × P × ? × P^–1, mais l'important est que X_n possède une limite L : la formule de récurrence X_n+₁ = X_n × A implique que L = L × A, soit ^tA × ^tL = ^tL, c'est-à-dire que ^tL est un vecteur propre de ^tA associé à la valeur propre 1.

Référence : Tangente SUP 69, 2013.

Les chaînes de Markov et la gestion du personnel

Hervé Lehning

dossier : Une science essentiellement statistique

HS Kiosque 62 : Mathématiques et économie

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