Les nombres réels sont insuffisants en algèbre. Pour produire des résultats esthétiques et généraux, il faut étendre leur corps en le complétant au moyen de nombres dits imaginaires, qui furent introduits par Cardan et Bombelli dès le XVIe siècle. Leur but ? Résoudre des équations polynomiales à coefficients réels de manière complète et générale. L'extension se fait en prenant en considération un nombre imaginaire, « i », qui est défini par la curieuse propriété i2 = –1. Le concept de nombre est alors étendu en dimension 2 en construisant des objets de la forme a + bi (a et b sont réels), que l'on baptise nombres complexes. Ces nombres s'additionnent et se multiplient (ou se divisent) sans difficulté et l'ensemble des nombres complexes peut ainsi être érigé en corps commutatif (pour employer un terme technique). Dès le XIXe siècle, la structure géométrique de ces nombres a été largement étudiée, notamment par Gauss et Cauchy.
Le rôle de Gauss
C'est à l'incontournable Carl Friedrich Gauss que l'on doit l'invention des polynômes cyclotomiques. Dans ses fameuses Disquisitiones arithmeticae, ouvrage phare paru en 1801, le Prince des mathématiciens utilisa la notion pour déterminer avec exactitude la liste des polygones constructibles « à la règle et au compas ». Ses travaux mettent aussi en évidence l'importance des propriétés liées aux permutations des racines des équations associées aux polynômes. ...
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