D'après le théorème de Bachet, si deux entiers relatifs a et b sont donnés et d est leur plus grand diviseur commun (ou pgcd), il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = d. Ce théorème se généralise aux polynômes car leur ensemble est également muni d'une division euclidienne. L'idée pour le démontrer est de considérer l'ensemble des polynômes de la forme A U + B V et, plus précisément, son élément de degré minimal, dont on démontre qu'il s'agit du pgcd de A et B (voir l'encadré). Cette démonstration débouche sur un algorithme de calcul consistant, à partir d'un polynôme de la forme A U + B V, à en déduire un autre, de degré inférieur, et à recommencer tant que cela est possible.
Le théorème de Bézout pour les polynômes
Considérons Δ l'élément de degré minimal de l'ensemble des polynômes AU + BV. Le pgcd (noté D) de A et B divise chaque polynôme AU + BV, donc Δ. Divisons alors A par Δ. On obtient A = ΔQ + R où le degré de R est strictement plus petit que celui de Δ. Comme AU + BV = Δ, en multipliant par Q et en ajoutant R afin de former A, on en déduit l'égalité A (1 – UQ) + B (– VQ) = R ce qui, si R est non nul, contredit le fait que Δ est de degré minimal. Ainsi R = 0, ce qui signifie que Δ divise A. Par symétrie, Δ divise également B, donc aussi le pgcd de A et B, soit D.
D divise Δ et Δ divise D. Ils sont donc égaux à une constante multiplicative près. On en déduit l'existence de U et V tels que AU + BV = D.
Prenons un ...
Lire la suite