Claude-Gaspard Bachet de Méziriac fut un grand créateur de jeux et énigmes mathématiques. Il fait preuve dans son ouvrage phare Problèmes plaisants et délectables d'une ferveur constante pour l'arithmétique. Plusieurs de ces problèmes consistent à deviner un ou des nombres pensés, ils sont déclinés aussi sous forme de problèmes de cartes à jouer qu'un joueur doit choisir mentalement. On trouve également des problèmes de transvasement, de traversées, de poids et de monnaie et même une règle de construction des carrés magiques d'ordre impair. Cependant, Bachet n'est pas qu'un arithméticien. Il nous a laissé d'innombrables « astuces » en termes de mathématiques récréatives, comme cette façon très imagée de construire des carrés magiques. Le dessin ci-contre parle de lui-même.

Construction d'un carré magique d'ordre impair.

Un théorème, ça se démontre !

Mais revenons à l'arithmétique, et au résultat qui nous intéresse. Ce que l'on pouvait prendre, chez Bachet comme chez Bézout, pour une démonstration de « leur » théorème était plutôt un algorithme, une construction effective des solutions de l'équation en nombres entiers ax + by = 1, où a et b sont des entiers premiers entre eux. On peut fournir une preuve moins constructive mais plus « ramassée ».

Déjà, si a et b sont premiers entre eux, notons E l'ensemble des entiers naturels de la forme au + bv où u et v sont des entiers relatifs. E, contenant au ... Lire la suite