Dans la jungle des nombres entiers, on trouve de nombreuses espèces. On peut citer les nombres premiers, qui fascinent depuis toujours, les nombres parfaits, très rares, les nombres déficients et les nombres abondants, parmi lesquels on trouve plusieurs familles auxquelles se sont intéressés plusieurs mathématiciens, en particulier Erdős.
Parfait et déficient
Un nombre parfait est un nombre entier égal à la somme de ses diviseurs propres (tous les diviseurs de n à l’exception de n lui-même – on rappelle que 1 fait partie des diviseurs propres). Les premiers de la série sont les nombres 6, 28, 486, 8128.... On vérifie, par exemple, que 6 = 1 + 2 + 3 ;
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, etc. À l’heure actuelle, on n’en connaît qu’un nombre fini. Les nombres parfaits pairs sont liés aux nombres de Mersenne Mp = 2 p – 1 qui sont premiers. On en connaît actuellement cinquante-deux. En effet, Leonhard Euler (1707-1783) a montré que tout nombre parfait pair est de la forme Mp (Mp +1)/2 avec Mp premier, ce qui nécessite que p soit premier. Quant aux nombres parfaits impairs, on conjecture… qu’il n’ y en a pas ! S’il devait en exister un, il devrait être supérieur à 101500 et posséder plus de cent ... Lire la suite