Il existe de nombreuses techniques pour construire une ellipse. La plus connue est la méthode du jardinier, qui utilise deux piquets (placés aux foyers de l’ellipse) et une ficelle. Les mathématiciens ont aussi inventé d’ingénieux mécanismes d’ellipsographes (voir Tangente 176). Voici deux méthodes praticables à la maison et ne nécessitant que du papier, du carton, un crayon et, éventuellement, un… moule à gâteau. Suivez la recette !

Par pliage

La première méthode ne nécessite qu’un disque D, par exemple en papier. On commence en choisissant un point P à l’intérieur du disque (autre que le centre O), puis on effectue des plis successifs de telle façon que le bord du disque vienne toucher le point P choisi. 

Après un grand nombre de plis, une forme apparaît, tous les plis obtenus lui étant tangents. Il s’agit d’une ellipse. Sur la photo suivante, on a obtenu deux ellipses (construites avec deux choix différents du point P initial). L’excentricité de l’ellipse varie avec la position de P. Plus P se rapproche du centre O du disque, plus l’ellipse ressemblera à un cercle. Lorsque P = O, on obtient un disque de rayon moitié de celui de D .

1. Le grand axe de l’ellipse a pour longueur la moitié du diamètre de D, quel que soit le choix de P. Pourquoi ?

Si D a pour rayon r et si P est situé à une distance a du bord (0 < a < r), quelle sera la longueur du petit axe de l’ellipse ?

Avec un moule à gâteau

Voici une autre méthode à pratiquer. Prenez un moule à gâteau circulaire sur lequel vous placez un disque D₁ de papier qui épouse parfaitement le fond. Découpez ensuite dans du carton épais un disque D₂ dont le diamètre mesure la moitié de celui de D₁. Dans D₂, choisissez un point P autre que le centre O pour y percer un trou permettant d’introduire la mine d’un crayon. Le procédé de traçage consiste à faire rouler D₂ sur le bord du moule tout en effectuant un tracé sur D₁, avec le crayon à travers le trou. La manipulation est délicate car D₂ doit rouler sans glisser, tout en maintenant le crayon appuyé sur D₁. La courbe obtenue est une ellipse.

Ici encore, l’excentricité de l’ellipse dépend de la position de P dans D₂.

2. Si r est le rayon de D₁ et si a est la distance entre P et le bord de D₂, quelles sont les longueurs respectives du grand axe et du petit axe de l’ellipse tracée ?