Un fabricant de boîtes de céréales pour petit déjeuner insère dans ses boîtes des magnets illustrant les régions françaises, que le client collectionneur apposera sur la porte de son réfrigérateur.

Depuis la réforme de 2015, la France métropolitaine compte treize « grandes régions ». Supposons donc que notre fabricant de céréales insère de façon aléatoire dans ses boîtes les magnets correspondant à ces treize régions, à raison d’un par boîte. À chaque achat à partir du deuxième, le client ne conserve que les magnets qu’il ne possède pas encore ; il jette ou offre à des amis les autres.

Quelle est la probabilité d’avoir la collection complète après l’achat de treize boîtes exactement ?

Lors de son deuxième achat, le client possède déjà un magnet. La probabilité qu’il obtienne un nouveau magnet est égale à 12/13. Lors de son troisième achat, elle est de 11/13. Et ainsi de suite. Lors de son treizième achat, s’il possède déjà douze magnets tous différents, la probabilité qu’il obtienne celui qui lui manque sera de 1/13. La probabilité qu’il réalise la collection complète en seulement treize achats est donc égale à (12/13) × (11/13) × … × (1/13), soit 12!/13¹², qui vaut environ 0,00002055969 (environ 0,002 %). Cette probabilité est certes bien supérieure à celle de gagner le gros lot à une loterie nationale, mais elle reste cependant relativement faible.

Les boules !

 Imaginons maintenant que notre client, soucieux d’augmenter ses chances d’obtenir le jeu complet des treize magnets avant que le fabricant n’ait décidé de les remplacer par d’autres cadeaux, ait acheté cinquante boîtes d’un coup, qu’il les ouvre et récupère les cinquante objets décoratifs qu’elles contiennent. On suppose que les occurrences des différents magnets dans les boîtes sont équiprobables. Quelle est la probabilité pour qu’un jeu complet des treize régions soit présent parmi ces cinquante magnets ?

Le calcul est ici un peu plus élaboré, mais le problème est équivalent au tirage avec remise de cinquante boules numérotées de 1 à 13 dans une urne contenant un très grand nombre de boules, les numéros de 1 à 13 étant uniformément répartis. Si une urne contient un grand nombre de boules numérotées de 1 à m, la probabilité, en n tirages, d’obtenir k numéros différents est égale à  où    désigne le nombre de combinaisons de k objets pris parmi m, à savoir  

Ici, on a m = k = 13 et n = 50. Le calcul fournit, en commençant par i = 13 puis en faisant décroître i, 

1 – 0,2375954061 + 0,01838913264 – 0,00057437882 + 0,00000740055 – … 

Les termes suivants devenant négligeables, on obtient une probabilité d’environ 78 %, ce qui n’est pas énorme et un peu décevant pour notre client ! En effet, après avoir acheté un nombre de boîtes égal à presque quatre fois le nombre de magnets différents, notre amateur de céréales (ou d’objets décoratifs…) a plus d’une chance sur cinq de ne pas obtenir la collection complète. En outre, on a fait l’hypothèse que la répartition des magnets dans les paquets de céréales était aléatoire. Si le producteur cherche à pousser à la consommation en insérant très rarement un magnet donné dans ses produits, c’est bien entendu une autre affaire.

Combien de boîtes notre client aurait-il dû acheter pour avoir au moins 99 % de chances d’avoir la collection complète des treize magnets ?