Des nombres très nombrilistes

Narcisse, selon la mythologie grecque, était si envoûté par sa propre image reflétée dans un étang qu'il s'y noya. Le malheureux, par la volonté des dieux, fut par la suite transformé en la fleur éponyme. De même, il existe des nombres si amoureux de leurs chiffres qu'ils ne changent pas, même après les avoir manipulés mathématiquement : ils restent, d'une certaine façon, le reflet du nombre de départ ! 

Dit de façon moins poétique, un nombre narcissique (ou nombre d'Armstrong) est un entier naturel n non nul qui est égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres en base dix, où p désigne le nombre de chiffres de n. En résumé, c'est un nombre égal à la somme de ses chiffres à la puissance du nombre de ses chiffres.

Comme dans les exemples ci- dessous :

153 = 13 + 53 + 33
370 = 33 + 73 + 03
371 = 33 + 73 + 13
407 = 43 + 03 + 73

1634 = 14 + 64 + 34 + 44
8208 = 84 + 24 + 04 + 84
9474 = 94 + 44 + 74 + 44

Avec ce principe, on peut également jouer avec les partitions numériques des puissances :

 81 = (8+1)2
512 = (5+1+2)3
4913 = (4+9+1+3)3
17576 = (1+7+5+7+6)3
234256 = (2+3+4+2+5+6)4
1679616 = (1+6+7+9+6+1+6)4
17210368 = (1+7+2+1+0+3+6+8)5
205962976 = (2+0+5+9+6+2+9+7+6)5
8303765625 = (8+3+0+3+7+6+5+6+2+5)6
24794911296 = (2+4+7+9+4+9+1+1+2+9+6)6
271818611107 = (2+7+1+8+1+8+6+1+1+1+0+7)7
6722988818432 = (6+7+2+2+9+8+8+8+1+8+4+3+2)7
72301961339136 = (7+2+3+0+1+9+6+1+3+3+9+1+3+6)8
248155780267521 = (2+4+8+1+5+5+7+8+0+2+6+7+5+2+1)8

Des erreurs d'impressions

Une variété spécifique de ces nombres fut baptisée « erreurs d'impression » par le vulgarisateur et ludologue Henry Dudeney. Dans un de ses livres de jeux mathématiques publié en 1917, il est question, dans un problème, d'un pauvre imprimeur qui, par erreur, avait imprimé 2592 au lieu de 2⁵ · 9². Qu'elle ne fut pas sa joie d'apprendre qu'en réalité cette coquille était une simple peccadille, puisque le nombre et l'expression numérique étaient en fait égaux !

Il est à noter que 2592 est le seul nombre à 4 chiffres pouvant avoir la forme A^B × C^D = ABCD. L'autre nombre connu qui partage les mêmes propriétés est :

24547284284866560000000000

qui est, en effet, égal à

24 · 54 · 72 · 84 · 28 · 48 · 66 · 56 · 00 · 00 · 00 · 00 · 00 

Voici d'autres formes possibles utilisant des fractions :

1129 1/3 = 112 ·9 1/3 

2124 9/11 = 212 ·4 9/11

Certaines formes pouvant même être infinies :

34425 = 34 ·425 312325 = 312 ·325
344250 = 34 ·4250 3123250 = 312 ·3250
3442500 = 34 ·42500 31232500 = 312 ·32500

etc. etc.

492205 = 492 · 205

4922050 = 492 · 2050

49220500 = 492 · 20500

etc.