La discontinuité
En rupture avec la recherche de régularité dans les phénomènes scientifiques, l'intérêt pour les fonctions discontinues est apparu soudainement au début du XIXe siècle avec l'étude des séries de Fourier. Davantage de rigueur s'est alors imposée pour définir les concepts de fonction, de continuité, de dérivabilité.
Riemann, Lebesgue, Darboux et d'autres ont proposé des exemples de fonctions monstrueuses pour justifier l'intérêt des théories q'ils avaient élaborées, ouvrant le champ à de nouvelles approches de la physique et même de l'économie.
Riemann, Lebesgue, Darboux et d'autres ont proposé des exemples de fonctions monstrueuses pour justifier l'intérêt des théories q'ils avaient élaborées, ouvrant le champ à de nouvelles approches de la physique et même de l'économie.
LES ARTICLES
L'émergence des fonctions discontinues
Bertrand Hauchecorne
Jusqu'au début du XIXe siècle, tout semblait continu. Avec les séries trigonométriques, les fonctions discontinues sont entrées en scène. Elles ont motivé Riemann à généraliser la notion d'intégrale, poussé Weierstrass à préciser la notion de continuité et amené Darboux à étudier les fonctions dérivées.
Discontinuités et séries de fonctions
Bertrand Hauchecorne
L'introduction des séries de fonctions, puis des théorèmes justifiant le maintien à la limite des propriétés de continuité ou dérivabilité, a permis de construire des objets aux propriétés insolites, défiant l'intuition. Certains savants célèbres s'en sont donné à coeur joie !
Le phénomène de Gibbs
Hervé Lehning
Quand on compresse une image, non seulement elle devient légèrement floue mais, aux zones de contraste, on voit apparaître une accentuation de la discontinuité. Ce phénomène porte le nom de phénomène de Gibbs, et sa compréhension passe par la notion de décomposition d'une onde en harmoniques.
Les distributions :
une théorie des « fonctions généralisées »
Jacques Bair et André Pétry
L'idée de discontinuité est illustrée de façon emblématique par deux « fonctions » qui portent le nom de physiciens, Heaviside et Dirac. Un problème économique offre l'opportunité de présenter de manière intuitive les éléments fondamentaux de la théorie mathématique sous-jacente.
En bref : Discontinuités en tous genres
Élisabeth BusserOn les a qualifiées de « pathologiques », Henri Poincaré parlait de « monstres », les accusant d'être des « fonctions bizarres qui s'efforcent de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose ». Certaines fonctions discontinues ont pourtant ...
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