Une des facettes de la créativité mathématique est de représenter des problèmes sous une forme originale qui en permette une résolution simple. Une équation diophantienne élémentaire peut ainsi être résolue par l’étude de trajectoires sur un billard, qui devient par là même un outil efficace.

Diophante d’Alexandrie est un mathématicien grec majeur dont on ne sait pourtant que peu de choses (voir article « Diophante d'Alexandrie, cet inconnu »). Il a établi la règle des signes pour les opérations sur les nombres négatifs, qu’il qualifie cependant « d’absurdes ». Mais il est surtout à la source, pour la postérité, de l’adjectif « diophantien », qui s’applique à toute équation polynomiale ayant pour coefficients et solutions des nombres entiers. L’une des équations diophantiennes les plus élémentaires qui se puisse imaginer est, sans aucun doute, l’équation ax + by = c, d’inconnues x et y (les entiers a, b et c étant donnés). Pour simple qu’elle soit, elle n’en a pas moins eu de riches applications.

 

Le théorème de Bachet‒Bézout

On peut déjà constater que le plus grand commun diviseur de a et b, noté d = PGCD (a, b), divise, par définition, a et b, et donc le premier terme ax + by de notre équation. Si le second terme c n’est pas divisible par d, alors manifestement aucune solution n’est possible. Dans le cas contraire, Bachet a été le premier à montrer que cette équation admet alors au moins une solution. Longtemps, ce théorème a été attribué à Étienne ... Lire la suite