De même, pour une tarte au lieu d’une seconde, la géométrie ne se contente pas de couper une petite portion de façon quelconque, elle trace dessus un polygone régulier à q côtés pour faire des parts égales et en prendre p.
Partager, morceler, découper, amputer… les multiples situations où il s’agit de fractionner ont partie liée avec l’idée de fracturer. Le terme fractal lui-même a été forgé avec l’intention de suggérer d’infinies brisures. Cette fracture historiquement attachée à la notion de fraction, on croit l’entendre pour de bon lorqu’on parle de nombres rompus, un terme aujourd’hui tombé en désuétude qui, jadis, désignait les fractions d’un certain type.
Partout où il s’agit de quantifier un morceau d’un tout, les fractions sont un outil fondamental. Bien vite, pourtant, joignant l’élégance des nombres entiers à la possibilité de faire des divisions, les fractions dépassent leur rôle initial. En se faisant plus grandes que 1 elles vont au-delà de la seule représentation d’un partage, et deviennent point d’observation privilégié d’une grande variété de phénomènes, au premier rang desquels trône la notion de proportionnalité escortée de son emblématique règle de trois.
En plus de permettre d’observer et d’explorer,
les fractions offrent un tremplin à l’analyse.
Loin de n’être qu’un monde en soi, le monde des fractions est donc aussi un tremplin. En leur permettant de dépasser le cadre algébrique auquel leur définition première les cantonne, l’analyse utilise les fractions comme un levier pour atteindre d’autres nombres et les étudier. Les fractions continues utilisent l’algorithme d’Euclide pour pénétrer au cœur même des propriétés des nombres. L’écriture décimale ouvre la voie à une représentation de tous les réels sous une forme standardisée de sommes de fractions dont les dénominateurs sont des puissances de dix. La notion de série, enfin, élargit cette idée à des sommes de fractions quelconques, pour produire des formules considérées parmi les plus belles de toutes les mathématiques.