Les nombres de Carmichael sont des nombres composés, c’est-à-dire non premiers. Ils se définissent en référence au petit théorème de Fermat, qui concerne les nombres premiers. Rappelons donc ce qu’énonce le théorème attribué au juriste et mathématicien toulousain.
Le petit théorème de Fermat
Pierre de Fermat (vers 1601 ‒ 1665).
Si p désigne un nombre premier et si a est un entier naturel, alors a p / a (mod p), c’est-à-dire que p divise l’entier a p ‒ a. Cette relation peut s’exprimer autrement en disant que si a est premier avec p, alors p divise a p‒1 ‒ 1. Par exemple, comme 6 est premier avec 13, on peut affirmer sans calcul que 13 divise 612 ‒ 1 (qui, de fait, est égal à 2 176 782 335, soit encore 13×167 444 795). C’est le miracle du petit théorème de Fermat !
La première référence à cet énoncé se trouve dans une lettre de Pierre de Fermat datée du 18 octobre 1640 et adressée à son ami Bernard Frénicle de Bessy (1605‒1675). Mais, comme souvent avec Fermat, il n’y a pas de preuve…
Pour en obtenir une, il faut attendre Euler en 1736, mais il ne la publie que cinq ans plus tard, dans un article intitulé Démonstration de certains théorèmes ...
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