Très marqué politiquement à gauche, il s’engage dans la révolution de 1848. Cela le pénalise par la suite pour obtenir un poste d’enseignant à la hauteur de ses capacités. Il retourne alors en Belgique et obtient un poste à l’université de Liège.
Les travaux de Catalan concernent les intégrales multiples (on lui doit la formule de changement de variables dans les intégrales doubles avec utilisation du jacobien), les équations différentielles, les séries entières, la géométrie algébrique et la théorie des nombres.
Catalan est connu pour les nombres qui portent son nom, mais aussi pour la conjecture suivante, qu’il énonce en 1844 : l’équation a m ‒ b n = 1, où m et n sont des entiers strictement positifs donnés et les inconnues a et b des nombres entiers supérieurs ou égaux à 2, n’admet qu’une seule solution, 32 ‒ 23 = 1.
Cette conjecture a résisté pendant plus de cent cinquante ans ; elle fut démontrée en 2002 par le mathématicien roumain Preda Mihăilescu.
Une relation de récurrence
Mettons que nous ayons deux termes a0 et a1 et que nous voulions les multiplier, dans cet ordre-là. Il n’y a qu’une manière de le faire : calculer le produit a0×a1.
Supposons maintenant que nous ayons trois termes, a0, a1 et a2. Deux possibilités s’offrent alors à nous, soit ...
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