Un apport décisif sur la conjecture de Syracuse
Parmi toutes les conjectures mathématiques, celle de Syracuse est l’une des plus simples à comprendre (voir Processus itératifs et récurrence, Bibliothèque Tangente 76, 2021). De quoi s’agit-il ? On prend un entier quelconque et on lui applique le processus suivant :
• s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1 ;
• s’il est pair, on le divise par 2.
Puis on recommence sur le résultat. Examinons sur deux exemples ce que l’on trouve.
À partir de 4, on aboutit à : 4→2→1→4→2→1→…
À partir de 5, on obtient : 5→16→8→4→2→1→…
On constate que l’on « boucle » toujours sur le cycle (4, 2, 1), qui se reproduit indéfiniment. La conjecture de Syracuse, énoncée sans doute dans les années 1930, indique que cette propriété est vraie pour tout entier n.
Une armée de mathématiciens s’y sont attaqué, sans succès jusqu’à ce jour. Notons plancher(n) le plus petit entier dans la succession des valeurs obtenues à partir de n. Démontrer la conjecture revient à obtenir plancher(n) = 1 pour tout n. On en est encore loin ! Terence Tao est l’un des derniers à avoir prouvé un résultat important : il a démontré que, pour toute fonction f vérifiant uniquement Lire la suite gratuitement