Petite histoire de la série de Grandi

Première étape : recherche d’une valeur

La série doit son nom au religieux italien Luigi Guido Grandi (1671‒1742), qui était professeur à l’université de Florence, d’abord en philosophie, puis en mathématiques. Il l’a citée en 1703 dans son livre Quadratura circula et hyperbolae per infinitas exhibita.

Pour Grandi, la somme 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … désigne une série géométrique de raison q = ‒1, de sorte que sa valeur peut être calculée : elle est égale à 1 / (1 – q), soit 1 / 2. Plusieurs mathématiciens ont justifié de diverses façons cette valeur.

Dans son livre Acta eruditorum (1684), Leibniz constate que si l’on effectue formellement le produit de (1 – x + x² – x³ + x⁴…) par (1 + x) on trouve 1, car les autres termes « se détruisent deux par deux » ; on a donc (1 – x + x² – x³ + x⁴…) = 1 / (1 + x). En conséquence, le résultat cherché est obtenu en remplaçant x par 1.

Leibniz retrouve encore cette valeur en regroupant deux par deux les termes de la série : 

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + … = 0 d’une part,
et 1 – (1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) + … = 1 d’autre part.

En présence de deux résultats différents, il en prend la moyenne arithmétique, soit 1 / 2, mais il juge cet argument plus « métaphysique » que mathématique.

Au XVIII^e siècle, Euler retrouve le même résultat au moyen de raisonnements exploitant des propriétés algébriques des sommes finies. Ainsi, il isole le premier terme de la somme et obtient :

S = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + … = 1 – S, d’où il déduit ... Lire la suite gratuitement