Les opérations élémentaires sur les ensembles comprennent l'inclusion, la réunion, l'intersection, la différence symétrique... La notion d'ensemble des parties est également naturelle et féconde. Comment décrire, dénombrer et structurer l'ensemble des parties ?

L'existence de l'ensemble vide  exige que, si l'on veut définir une opération sur des ensembles, on soit obligé de l'envisager. De façon étonnante, cela simplifie la description de l'ensemble des parties d'un ensemble. Déjà, la seule partie de l'ensemble vide est… l'ensemble vide lui-même. L'idée est ensuite de décrire ce qu'il se passe quand on ajoute un élément x à un ensemble E afin d'obtenir une partie , en supposant que l'on connaît déjà l'ensemble des parties de E, soit . Si une partie de F contient x, il s'agit d'un élément de auquel on ajoute x, sinon il s'agit d'un élément de . Nous décrivons ainsi toutes les parties de F. Quand on ajoute un élément à E, on double donc le nombre de ses parties. Comme le vide n'a qu'une partie, par récurrence, on en déduit que, si E a un nombre fini n d'éléments, possède 2n éléments. Cette méthode permet de plus de trouver l'ensemble des parties d'un ensemble fini quelconque. Voyons comment sur un cas simple.

 

Pour obtenir l'ensemble des parties de {1, 2, 3}, ... Lire la suite