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POLE
Thématiques
2017
58 pages

Hors-série 63 - Les nombres complexes

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Les complexes sont issus de la volonté d'accéder à une résolution des équations algébriques. Il a fallu une audace incroyable pour imaginer dans un premier temps... les imaginaires ! Mais la création du corps des complexes, dont on allait montrer qu'il était « algébriquement clos », a révolutionné non seulement l'algèbre mais la géométrie. Les nombres complexes se représentent en effet dans un plan. Il n'a pas fallu longtemps pour comprendre comment on pouvait les exploiter pour trouver de nouvelles démonstrations de problèmes de géométrie. Quant à la trigonométrie, elle est résumée dans une notion au fabuleux destin : l'exponentielle complexe.

SOMMAIRE

Dossier 1 : Approche algébrique

Les nombres irrationnels, le zéro, les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés. Ce fut également le cas des « imaginaires », qui ont donné naissance à la notion de nombres complexes. À l'origine de leur – tardive – introduction, il y avait le souhait de résoudre les équations du deuxième degré qui n'avaient pas de solution réelle. Cela a débouché sur la conception d'un ensemble puissant, possédant la structure de corps algébriquement clos.

Un nombre complexe, c'est quoi? / Conjugué, module et argument / "C" est un corps algébriquement clos / Les nombres complexes de module 1

Dossier 2 : Représentations géométriques

À tout seigneur, tout honneur : la géométrie est la première à profiter de l'introduction des nombres imaginaires. La représentation des complexes comme points du plan permet d'« encoder » adroitement une transformation, de « capturer » judicieusement le lieu d'un point qui se déplace. Homothéties, similitudes et autres inversions reçoivent ainsi une interprétation algébrique simple et deviennent aisément manipulables.

Des nombres pas si complexes / Les isométries du plan / Des similitudes intéressantes... / L'inversion / Une belle application des complexes : les ensembles de Julia / La géométrie des complexes / Le théorème de Marden

Dossier 3 : Complexes, trigonométrie et analyse

Les nombres complexes ont totalement bouleversé l'analyse : en autorisant la variable d'une brave fonction réelle à prendre des valeurs dans C, Leonhard Euler et surtout Bernhard Riemann ont ouvert une boîte de Pandore. L'exponentielle s'est enfin épanouie, et avec elle toute la trigonométrie. Des domaines de la physique, comme le génie électrique, ne peuvent désormais plus s'en passer.

Et aussi

Nombres complexes et trigonométrie : des liens profonds et méconnus / Déambulation dans le plan complexe / L'exponentielle complexe / La fonction Zeta et l'hypothèse de Riemann

Et toujours

Lu, vu, entendu - en bref - notes de lecture - problèmes - nouvelle : les complexes de bêta - solutions

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