Les livres et les articles de Paul Halmos (1916 2006) ont eu une grande influence sur l’enseignement des mathématiques. Il était assistant du légendaire John von Neumann quand il a écrit Finite dimensional vector spaces (1942), le premier livre d’algèbre linéaire destiné aux étudiants. Il est revenu à ce sujet en 1996 avec le présent ouvrage. Il y emploie la méthode qui a fait le succès de A Hilbert space problem book (1967), puis de Problèmes pour mathématiciens, petits et grands (Cassini, 1998) : d’abord intéresser le lecteur, exposer le problème, poser la question précise dont la réponse permet de débloquer la situation. Ensuite, donner, si nécessaire, une indication. Enfin, pour être sûr que tout est bien compris, donner une solution complète. Parce qu’il est conçu pour l’étude individuelle, parce qu’il ne demande pas une lecture « linéaire » et qu’on peut l’ouvrir avec profit à n’importe quelle page, parce qu’enfin il apporte un point de vue complémentaire à celui du cours classique, l’Algèbre linéaire en problèmes est d’une grande utilité pour tous ceux qui sont confrontés à ce sujet dès le début de leurs études supérieures. Problème après problème, le lecteur va démontrer lui-même tous les théorèmes d’un cours d’algèbre linéaire. Des indications sont données dans la deuxième partie du livre et des solutions très complètes dans la troisième. La majorité des problèmes sont des exercices, jamais calculatoires, toujours instructifs. Lorsqu’il y a des calculs – Halmos n’est pas contre par principe –, comme ceux qu’il faut faire pour montrer qu’une matrice carrée d’ordre 2 est semblable à sa transposée, c’est pour allécher le lecteur en lui disant : « Pour traiter le même problème à l’ordre n ou même à l’ordre 3, il faudra de nouvelles idées et des méthodes plus sophistiquées. ».
