Arthur Engel a exercé une influence significative sur l’enseignement des mathématiques, notamment en France où ses ouvrages ont inspiré l’introduction des probabilités et de l’algorithmique au lycée. Il a aussi été durant vingt ans le préparateur et le chef de délégation de l’équipe d’Allemagne aux Olympiades de mathématiques. Solutions d’expert (ou Problem- solving strategies dans sa version originale) est le produit de ce travail de préparation. Les invariants sont un outil classique utilisé par de nombreux ouvrages de problem solving. Les deux tomes d’Arthur Engel rassemblent mille cent problèmes soigneusement mis au point par les meilleurs spécialistes mondiaux, organisés autour des grandes idées qui mènent à leur résolution : principes d’invariance, démonstrations par coloriages, stratégies combinatoires avec en particulier le principe des tiroirs ou la relation d’inclusion–exclusion de Poincaré, théorie des nombres et principe de récurrence, graphes et problèmes de coloriages, théorie des jeux (on peut aussi classer les problèmes par sujets : inégalités, suites, polynômes, équations fonctionnelles, géométrie…). L’idée que pour prouver une inégalité symétrique en trois variables on peut soit conserver cette symétrie, soit décider de la rompre, n’est pas spontanée : elle s’apprend.
Chaque chapitre commence par des exemples typiques illustrant les concepts centraux. Suivent un certain nombre de problèmes accompagnés de leurs solutions commentées, puis les problèmes à résoudre par le lecteur, dont la solution est fournie dans la seconde partie du livre. La plupart dessolutions sont complètes, maiscer taines se contentent de mettre le lecteur sur la voie. Et pour quelques dizaines d’exercices, aucune solution n’est fournie.On retirera de cet ouvrage une certaine humilité (plusieurs exercices sur lesquels des spécialistes peuvent sécher plusieurs semaines ont été résolus par des étudiants), de la patience, de l’obstination, le plaisir de la recherche, et l’excitation de la compétition.
