Le nom de Gabriel Cramer reste aujourd’hui associé à un paradoxe qui porte sur le nombre de points nécessaires pour définir sans ambiguïté une courbe d’ordre* donné : 9 points pris au hasard définissent-ils une unique courbe d’ordre 3, ou plusieurs, voire une infinité ?
(* L’ordre d'une courbe du plan définie par une équation cartésienne à deux variables est la valeur maximale que peut prendre n + m dans les expressions de la forme x ny m .)
Un étonnement
Nous sommes en 1744 ; après avoir consacré tout son temps à son enseignement de mathématiques à l’Académie de Genève et à l’édition des Œuvres complètes des frères Jean et Jacques Bernoulli (voir l'article « Itinéraires d'un mathématicien genevois »), Gabriel Cramer reprend l’écriture de son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, qu’il a débutée en 1740 (le livre ne sera finalement publié qu’en 1750). Ce faisant, il énonce deux résultats qui lui semblent évidents : 1° une courbe d'ordre n est définie par la donnée de n × (n + 3) / 2 points et 2° deux courbes d’ordres m et n se coupent en mn points (voir l'article « Une déterminante contribution à l'algèbre »). Ainsi, une droite est définie par la ... Lire la suite