Un polyèdre est un assemblage de polygones qui contient des sommets, des arêtes et des faces de telle sorte que chaque arête soit partagée par deux faces.

Dans la formule d’Euler pour les polyèdres convexes, F – A + S = 2, le nombre de faces F et le nombre de sommets S jouent des rôles symétriques. Cette symétrie est à l’origine de la dualité. La dualité, dans l’espace, est une opération qui transforme les polygones en points et les points en polygones. 

Mais comment procéder pour construire un polygone à partir d’un sommet de polyèdre ? C’est là qu’intervient le polygone de sommet. 

Sa construction est simple : plaçons-nous à un sommet et éloignons-nous d’une même distance sur chaque arête reliée à ce sommet. La notion de polygone de sommet permet de caractériser les sommets d’un polyèdre en termes de polygones. Ainsi, nous pouvons décrire un polyèdre uniquement avec des polygones : les faces et les polygones de sommet.

Cette notion permet même de caractériser les solides de Platon de façon très économique : un polyèdre est régulier si ses faces sont d’un seul type de polygone régulier et ses polygones de sommet sont d’un seul type de polygones réguliers. Nous voyons apparaitre naturellement le symbole de Schläfli pour les polyèdres !  

Polyèdre

Faces

Polygone
de Sommet

Symbole
de Schläfli

Tétraèdre

{3}

{3}

{3, 3}

Cube

{4}

{3}

{4, 3}

Octaèdre

{3}

{4}

{3, 4}

Dodécaèdre

{5}

{3}

{5, 3}

Icosaèdre

{3}

{5}

{3, 5}