Pendant des siècles, le principal affrontement qui se déroula sur les terres de la géométrie concerna le droit et le courbe. Le premier portait en étendard les certitudes offertes par des formules connues et utilisées depuis des temps immémoriaux telles que celles exprimant l’aire des polygones. Le second lui opposait un grand nombre de problèmes délicats qui allaient jusqu’à questionner la définition même d’une longueur.
Dès l’Antiquité pourtant, Archimède avait jeté les bases d’un gentlemen’s agreement entre les deux, notamment dans le cadre du calcul du nombre π, rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre.
Le courbe dompté par le droit
On peut encadrer la mesure de la circonférence d’un cercle en la minorant par le périmètre d’un polygone régulier inscrit et en la majorant par celui d’un polygone régulier circonscrit. (Ici, les polygones ont douze côtés.) En trouvant une formule explicite pour le périmètre de polygones réguliers au nombre de côtés de plus en plus grand, Archimède a obtenu une méthode d’approximation de π qui a fait autorité pendant deux millénaires.
La courbure d’un cercle empêchait d’en calculer directement la circonférence, mais le recours à des approximations de plus en plus fines par des polygones ...
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