Lorsque deux fonctions admettent la même limite non nulle finie en un point, éventuellement à l’infini, leur quotient tend vers 1. Cette constatation a priori triviale prend de l’intérêt lorsque leurs limites sont toutes les deux soit nulles, soit infinies. Ceci permet alors de remplacer l’une par l’autre dans la recherche de la limite d’un produit ou d’un quotient. On dit que les deux fonctions sont équivalentes au voisinage de ce point. En fait, cette définition manque de rigueur, donc une plus précise est en général proposée (voir encadré). Lorsque l’on a un développement, le premier terme non nul est un équivalent de la fonction au voisinage du point étudié. Par la suite, on supposera que l’étude est faite en 0, quitte à opérer une translation.
Premiers exemples
Le développement limité en 0 à l’ordre 3 de la fonction sinus étant
on en déduit que la fonction sinus est équivalente à la fonction x ↦ x au voisinage de 0 puisque alors
qui tend clairement vers 1 lorsque x tend vers 0.
Considérons maintenant le produit h de deux fonctions f et g, soit ...
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