Considérons l’équation x 2 + x – 1 = 0, dont un calcul montre qu’elle admet pour unique solution positive le nombre
Cette équation est équivalente à x (x + 1) = 1, et donc à
À présent, remplaçons le x du dénominateur par ce qui donne
Rien n’empêche de recommencer, encore et encore, ce qui suggère la possibilité d’écrire x sous forme d’une fraction « qui ne s’arrête pas » — on parle de fraction continue :
Des stars parmi les nombres
Dans son Introduction à l’analyse infinitésimale parue en traduction française en 1796, Euler synthétise ainsi la notion : « J’appelle fraction continue une fraction dont le dénominateur est composé d’un nombre entier joint à une fraction, qui a elle-même pour dénominateur un entier & une fraction formée de la même manière que les précédentes, ainsi de suite, soit qu’il y ait un nombre infini de fractions, soit qu’il n’y en ait qu’un nombre fini. »
En modifiant un signe dans notre équation de départ pour considérer plutôt x2 – x – 1 = 0, on obtient là aussi une unique racine positive, qui est cette fois le fameux nombre d’or, que l’on notera φ.
En procédant exactement comme plus haut, on ...
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