Dès lors, le tableau des nombres figurés de Nicomaque apparaît, avec plus de lignes et de colonnes, dans de nombreux traités arithmétiques, comme chez al-Baghdadi (vers 980‒1037), Avicenne et Alhazen. Si quelques nouveaux résultats sont démontrés, c’est au XIIIe siècle que la conception des nombres figurés change radicalement.
Vers une interprétation combinatoire
Au même moment, chez deux mathématiciens lointains géographiquement, al-Farisi, en Perse, et al-Banna, au Maroc (plus précisément, à Marrakech), la conception des nombres figurés est remise en cause. Ils relient tous deux des questions de combinatoire aux nombres figurés.
Al-Banna s’intéresse en particulier à une question lexicographique :
« La sommation des carrés est utile dans la composition des mots trilitères pour dénombrer le contenu des langues et de choses semblables. Par exemple : Combien a-t-on de mots trilitères à partir des lettres de l’alphabet selon une seule figure, sans ses permutées ?
Le nombre de mots trilitères est égal à la somme des trigones dont le côté du dernier est inférieur au nombre de ces lettres de l’alphabet de deux et la somme des trigones s’obtient en multipliant le côté du dernier par le produit des deux nombres qui le suivent et en prenant le sixième du résultat, comme ce que l’on fait pour la ...
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