Que sont des ensembles qui ont « la même taille » ? Pour des ensembles finis, c’est évident. Même les jeunes enfants qui ne sont pas encore experts en arithmétique font rapidement la différence entre un paquet contenant trois bonbons et un autre en contenant autant que de doigts sur une main. En bref, il suffit de compter le nombre d’éléments (le cardinal) de chaque ensemble.
Mais que se passe-t-il pour les ensembles infinis ? S’en tenir à un comptage est une méthode mise en défaut. Par contre, la mise en relation des éléments d’un ensemble avec un autre apporte un éclairage pertinent.
Comme Cantor l’a écrit en tête de sa thèse en 1867 (rédigée en latin), en mathématiques, l’art de poser les questions est plus important que celui de les résoudre. Identifier les bonnes questions parmi celles dont les réponses sont triviales, tel était le premier coup de génie de cette aventure.
Une autre façon de « compter »
Puisque l’énumération des éléments n’est pas adaptée pour les ensembles infinis, il faut trouver un autre moyen pour comparer leurs « tailles ». Mettons en correspondance les éléments d’un ensemble A avec ceux d’un ensemble B en définissant une application f de A vers B.
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