Les équations différentielles vous font peur ? C’est vrai, il y a de quoi. On peut néanmoins les approcher très facilement en fixant quelques contraintes ; la linéarité est l’une d’entre elles. Et quand les facteurs qui interviennent sont des constantes, elles deviennent à la portée de tous, surtout quand le second membre est nul.

Une équation différentielle est une relation entre une fonction et ses dérivées. La résoudre consiste à retrouver toutes les fonctions qui vérifient cette relation, exprimées sous la forme « la plus simple ». Une façon parlante de les aborder est de partir de certaines fonctions usuelles et de s’interroger sur les équations différentielles dont elles sont des solutions.

 

En partant de l’exponentielle

 

Une fonction incontournable en mathématiques, conduisant à l’une des équations différentielles les plus élémentaires, est l’exponentielle, s’écrivant f (x) = ex. On voit tout de suite que f ’(x) = ex = f (x). Il s’ensuit qu’elle vérifie identiquement l’équation f ’= f , ou encore f ’– f = 0 (en pratique, pour obtenir une écriture plus compacte, on omet généralement d’indiquer la variable x dans les équations).

Cette expression en fait l’une des équations différentielles « les plus simples » : elle est linéaire, du premier ordre (elle ne fait intervenir que la dérivée première), à coefficients constants, et sans second membre.

 

Prenons maintenant g (x) = x2. Cette nouvelle fonction g vérifie g’(x) = 2x.

Si l’on cherche une équation différentielle dont g est solution, on peut trouver g’2 – 4g = 0. Mais cette équation n’est pas linéaire !

On peut aussi trouver xg’(x) – 2g(x) = 0. L’équation est alors linéaire, d’ordre 1, mais elle n’est pas à coefficients constants.

On peut encore proposer g’’ = 2. Cette fois, l’équation est linéaire, à coefficients constants, mais elle est ... Lire la suite