Lorsqu’on lâche un objet d’une grande hauteur, non seulement il tombe, mais il le fait de plus en plus rapidement (jusqu’à une certaine limite). En d’autres termes, à notre échelle, sa vitesse est une fonction croissante du temps. Aussi, si l’on trace la distance parcourue en fonction du temps, on obtient un graphe dont la pente est en constante croissance, avec une concavité tournée vers le haut. C’est ce concept que l’on cherche à généraliser et à analyser mathématiquement.
Des fonctions qu’on vexe
On qualifie de convexe toute fonction numérique, définie sur un intervalle, dont la croissance est une fonction croissante de la variable. Si cette fonction est dérivable, ceci revient à dire que sa dérivée est une fonction croissante ; si elle est deux fois dérivable, que sa dérivée seconde est positive ou nulle en tout point.
Un coup d’œil rapide sur son graphe montre que le segment joignant deux points quelconques de sa courbe représentative se situe au-dessus du graphe situé entre ces deux points. Autre caractérisation pour les fonctions dérivables, la tangente en tout point est située au-dessous de son graphe.
On dit qu’une fonction f est concave si son opposée, c’est-à-dire – f ,est convexe. Pour une fonction dérivable, cela revient ...
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