Depuis Descartes, il est devenu usuel de caractériser un point du plan euclidien par ses deux coordonnées dans un repère arbitraire. Mais pour une étude analytique des propriétés du triangle, il est choquant, pour le géomètre guidé par d’efficaces principes esthétiques, de rompre la symétrie intrinsèque en choisissant un sommet pour origine ou un côté pour vecteur de base. L’expression d’un résultat se doit d’être invariante par toute permutation des sommets du triangle. Trois coordonnées doivent alors être mises en jeu, mais reliées par une relation (puisque le problème est plan, donc de dimension 2). C’est le principe des coordonnées trilinéaires et des coordonnées barycentriques, qui seront ici utilisées pour déterminer des points et courbes remarquables du triangle.
Les coordonnées barycentriques
Pour un triangle ABC, d’aire ∆ABC , dire que le point P admet le triplet (x : y : z) pour coordonnées barycentriques signifie qu’il est le barycentre des masses x en A, y en B et z en C, tout en remarquant que des masses proportionnelles ont le même barycentre.
Notons respectivement SX = ∆PBC , SY = ∆PAC et SZ = ∆PAB les aires des triangles PBC, APC ...
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références
Le triangle.
Bibliothèque Tangente 24, 2005.
Le site Cubics in the triangle plane », administré par Bernard Gibert :
https://bernard-gibert.pagesperso-orange.fr
Le site Encyclopedia of Triangle Centers (ETC), administré par Clark Kimberling : https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/etc.html