Le théorème des accroissements finis permet de garantir que des problèmes très concrets de capitalisation possèdent bel et bien une solution, et que l'on aboutit bien à cette solution en suivant les équations d'évolution standard. Un rêve pour tout économiste !
Les problèmes réels se traduisent très rarement par des équations admettant des solutions dont on peut proposer une forme algébrique simple et calculable directement. Le recours à des méthodes de calcul approché est le plus souvent indispensable. Assez curieusement, le théorème de Rolle ou son principal corollaire, le théorème des accroissements finis, permettent la mise en place de méthodes d'approximations successives convergeant vers la solution de certains problèmes réels tout en donnant une bonne idée du niveau d'erreur entachant la solution approchée.
Exploiter les relations de récurrence
Plaçons-nous dans la situation où il faut résoudre, numériquement, une équation du type f(x) = 0, et imaginons qu'il soit possible de la transformer en une équation équivalente du type )
. En partant d'une valeur arbitraire initiale x0, on peut construire une suite de valeurs (xk) en utilisant la relation de récurrence )
. Lorsque la suite ainsi construite converge, elle converge forcément vers la solution de l'équation initiale f(x) = 0. Une condition suffisante de convergence découle de Rolle. En effet, la suite de valeurs va converger si la limite (pour k tendant vers l'infini) des différences successives |xk – xk–1| tend uniformément vers 0. Or, le théorème des accroissements finis nous permet d'affirmer qu'il existe un point 
compris ...
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