Imagerie médicale : les maux en images

François Lavallou

dossier : Maths et techniques médicales

HS Kiosque 58 : Maths et médecine

La spectaculaire progression de l'imagerie médicale de ces dernières années résulte du couplage de l'intelligence mathématique et de la puissance informatique alliées à des théories conçues bien avant d'être l'objet d'applications pratiques.

Une demande constante des médecins est de connaître, sans intrusion, la cartographie des densités et interfaces internes d'un corps humain. Les principaux outils de contrôle non invasifs sont l'IRM et les tomographies électron-positon, γ et X. Si ces examens d'imagerie médicale reposent sur des principes physiques différents, tous sont néanmoins totalement dépendants de traitements mathématiques pour compléter l'information, l'extraire du bruit et éliminer les artefacts.

IRM et scanner

L'atome d'hydrogène, le plus léger de la nature, se comporte comme un aimant facilement orientable par un champ magnétique. Stimulé par une impulsion électromagnétique, il entre en résonance à une fréquence proportionnelle à l'intensité du champ magnétique. Si on soumet un corps à un champ magnétique différent en chaque endroit de l'espace, la mesure de la fréquence de l'atome permet alors de le localiser.

C'est le principe de base de l'IRMN anatomique. Ce sigle désigne l'Imagerie à Résonance Magnétique Nucléaire. L'adjectif Nucléaire en a été retiré pour ne pas affoler le patient qui, par ailleurs, demandera un panorama dentaire sans se poser de questions.

L'IRM est un examen non destructif, contrairement aux autres techniques utilisant des rayonnements. Les traitements mathématiques de son fonctionnement sont néanmoins bien ... Lire la suite

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La Transformée de Radon

La Transformée de Radon

Si on étudie le cas où l'image correspond à une coupe plane d'un objet, l'interaction du rayonnement X avec l'objet le long d'une droite (D) donne une projection p(D) dont la valeur dépend des longueurs et densités des matériaux traversés. Pour une source monoénergétique, l'atténuation du rayonnement peut être modélisée par une expression de la forme $K\cdot e^{\underset{M\in (D)}{\int f(M)\cdot d(M) }}$ , où f(M) représente la densité du matériau traversé au point M de la droite (D). À une transformation logarithmique près, nous obtenons une équation intégrale du type : $p(D)=\underset{M\in (D)}{\int f(M)\cdot dM}$

À chaque droite (D) du plan, on a ainsi fait correspondre une valeur numérique p(D), qui est nulle si la droite n'intercepte pas l'objet. Cette relation générale est connue sous le nom de transformation de Radon.

Pour l'utiliser, il va falloir « coder » les droites du plan.

Pour un point O du plan donné, toute droite est déterminée avec unicité par ses coordonnées (r, $\varphi$ ), r étant sa distance à l'origine et $\varphi$ l'angle de sa normale avec l'axe des abscisses. La droite D(r, $\varphi$ ) a pour équation xcos( $\varphi$ ) + ysin( $\varphi$ ) = r, et la transformée de Radon s'écrit : $p_{\varphi }(r)=\underset{D(r,\varphi )}{\int \int }f(x,y)dxdy$ . En utilisant la distribution de Dirac $\delta (x)$ , impulsion qui est nulle en tout point, et « vaut » l'infini à l'origine, on obtient : $p_{\varphi }(r)=\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\delta (xcos(\varphi ) +ysin(\varphi )-r)dxdy$

Le problème consiste donc à déterminer la fonction f(x,y) connaissant $p_{\varphi }(r)$ . Dans la pratique, les directions des
projections tomographiques sont en nombre fini, ce qui rend délicat l'inversion de cette transformation.

L?Abel image

L?Abel image

Pour une sphère de densité radiale $f(\rho )$ , la valeur $\varphi (r)$ de sa projection correspond à l'intégration de la ligne de visée (D) d'abscisse linéaire λ passant à la distance r du centre de la sphère : $\varphi (r)=\int_{-\infty}^{+\infty }f(\rho )d\lambda$ (voir figure).

La symétrie centrale implique que l'intégration le long de cette ligne de visée est symétrique par rapport à son périgée r.

Quelle que soit l'orientation de la droite (D), seule importe sa distance r à l'origine.

On peut alors écrire $\varphi (r)=2\int_{0}^{+\infty }f(\rho )d\lambda$ , où $\rho$ est la distance d'un point courant de la droite au centre de la sphère. Le théorème de Pythagore impose la relation $\lambda^{2} = \rho ^{2} -r^{2}$ . On en déduit $d\lambda =\frac{\rho \cdot d\rho }{\lambda }=\frac{\rho \cdot d\rho }{\sqrt{\rho^{2} -r^{2}} }$ Pour λ variant de 0 à l'infini, $\rho$ varie de r à l'infini et $\varphi (r)=2\int_{r}^{+\infty }\frac{\rho \cdot f(\rho )}{\sqrt{\rho^{2} -r^{2}}}\cdot d\rho$ .

On écrit alors $\varphi (r)=A\left [ f \right ](r)$ où A est l'opérateur d'Abel, étudié par Abel dès 1823, un siècle avant Radon.
Cet opérateur d'Abel correspond donc à la transformation de Radon dans le cas particulier d'un objet à une dimension.

L'étude de la transformée de Radon lorsque le rayonnement de la source est divergent fait apparaitre une famille d'opérateurs qui généralise l'opérateur d'Abel.

Ces opérateurs tomographiques ont pour expression $A_{n}\left [ f \right ](x)=\frac{2}{ \Gamma \left ( \frac{n}{2} \right )}\cdot \int_{x}^{+\infty }u\cdot f(u)\cdot (u^{2}-x^{2})^{-1+n/2}\cdot du$

où $\Gamma$ est la fonction qui généralise la factorielle $n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$ .

L'opérateur d'ordre deux présente une importance particulière due à sa simplicité : $A_{2}\left [ f \right ](x)=2\cdot \int_{x}^{+\infty }u\cdot f(u)\cdot du$ .Ces opérateurs sont proches de ceux déterminés par Jacques Hadamard (1865-1963), à une constante près qui permet à la composition des opérateurs tomographiques d'être un homomorphisme : $\forall n,m\in \mathbb{N},A_{n}oA_{m}=A_{n+m}$ .

Par suite, cette composition est commutative et nous avons : $A_{n}=A_{1}^{n}$ ,ce qui signifie que l'opérateur d'ordre n donne directement le résultat de l'opérateur d'ordre un itéré n fois.

En notant maintenant R l'opérateur d'Abel, transformée de Radon d'un corps 1D, nous avons d'après ce qui précède :

$R\left [ f \right ](x)=2\cdot \int_{x}^{+\infty }\frac{u\cdot f(u)}{\sqrt{u^{2}-x^{2}}}\cdot du$ . On vérifie que $R=\sqrt{\pi }\cdot A_{1}$ , et plus générlament, $\forall n\in \mathbb{N}, R^{n}=\pi ^{n/2}\cdot A_{1}^{n}=\pi ^{n/2}\cdot A_{n}$ .