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Bib 55 - Les démonstrations
Collectif POLE
Présentation
SOMMAIREDémonter : une histoire au long cours
Dossier 1 : Les fondements de la preuve
La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait à elle seule la spécificité des mathématiques, la différenciant des autres sciences. Tout au long d'une longue histoire, qui remonte aux Grecs de l'Antiquité et qui continue à s'écrire aujourd'hui, la recherche d'une justification, d'une preuve, d'une démonstration, a constitué l'activité qui caractérise le mathématicien.
Les bases de la logique / Cela existe, je l'ai démontré! / Bien choisir son axiomatique / Les limites de la preuve / Kurt Gödel, le vrai et le démontrable / Une démonstration peut-elle être purement visuelle? / Le rôle de l'analogie en mathématiques / Preuve et logique
Dossier 2 : Les grands classiques
Les différents modes de démonstration sont aujourd'hui bien établis. Certains datent de l'Antiquité, d'autres sont nés en France au XVIIe siècle. Le raisonnement par récurrence, qui est selon Henri Poincaré « une propriété de l'esprit lui-même », est plus récent. Tout l'art est de comprendre quelle technique de raisonnement s'appliquera à un problème donné...
Démontrer : une grande variété de méthodes / Analyse et synthèse : une particularité des mathématiques / Pour un tiroir de plus.../ Comment trouver un bon invariant / La démonstration par récurrence / L'étrange axiome du choix / La récurrence et la base incomplète / Les joies du transport de propriétés / Cantor et les infinis
Dossier 3 : De nouvelles formes de preuves
Si les bases de la logique sont désormais bien établies, de nouveaux outils pour la démonstration continuent à être introduits en mathématiques. L'arrivée des ordinateurs pose plusieurs questions fondamentales: les algorithmes utilisés produisent-ils toujours un résultat, ou peuvent-ils boucler sans fin ? Peut-on distinguer un problème « facile » d'un problème « difficile»?
Des calculs à n'en plus finir / Non, les problèmes ne sont pas tous de même difficulté! / Manipuler pour démontrer / Même le hasard peut créer des certitudes / La méthode d'exhaustion / L a théorie homotopique des types : de nouveaux fondements des maths ?
Dossier 4: Les apports de l’informatique
L'informatique théorique est la science qui nous a le plus obligés à repenser la notion de preuve. Les analogies entre démonstration mathématique et programme informatique sont maintenant bien établies. L'ordinateur offre des moyens de calculs inédits. Il devient même possible de certifier qu'une preuve mathématique est effectivement valide.
La démonstration automatique : un enjeu crucial / Prouver rapidement qu'une propriété est vérifiée ... ou pas / Comment prouver son identité / Une preuve de maths est un programme informatique ! / Vérifier une preuve en n'en lisant que quelques lettres ! / Le "petit"théorème PCP / Réduire la taille d'une preuve
Et aussi
La preuve par le contre-exemple / Idées lumineuses
Et toujours
En bref - notes de lecture - problèmes- solutions
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