Hors-série 80 - Les groupes

Collectif Tangente

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Imaginée au XIXème siècle, mise en avant dans les programmes scolaires avec les « maths modernes », la notion de groupe s'est très vite étendue hors des mathématiques : elle permet de s'intéresser aux relations entre les objets plutôt qu'aux objets eux-mêmes.

Dossier 1 : Une structure incontournable

Il est difficile d'imaginer l'algèbre sans la théorie des groupes. Pourtant, ce n'est qu'au début du XIXe siècle que la notion se développe, présente implicitement dans les travaux de Lagrange, puis formalisée par Galois. Apparaissent alors quantité d'outils pour exploiter cette structure unificatrice. Graal ultime, le théorème de classification des groupes finis simples connaît encore des répercussions aujourd'hui.

Les articles : Premier pas vers le concept de groupe / L'apport de Galois / L'apparition des groupes finis - Des exemples de base / Les structures quotients / La classification des groupes finis simples / Le Monstre

Dossier 2 : Au-delà de l'algèbre

La notion de groupe, centrale en algèbre, est aussi indispensable en géométrie, où elle permet de comprendre, de classer, de relier, d'étudier les transformations, voire de caractériser différentes géométries. Mais le concept a aussi investi l'analyse infinitésimale et la physique mathématique, où les groupes de Lie ont une importance cruciale.

Les articles : Des symétries qui laissent les objets invariants / Des transformations géométriques en groupes / Le groupe de Klein et ses avatars / Le Cube de Rubik / Le programme d'Erlangen / Les groupes de Lie / Le diagramme de Cayley

Dossier 3 : Un outil pour de nombreux domaines

Si le groupe est omniprésent dans les mathématiques « pures et dures », d'autres domaines s'en sont emparés. En ethnologie, Claude Lévi-Strauss a utilisé les groupes pour modéliser des relations de parenté dans certaines populations. En cryptographie, l'« arithmétique de l'horloge » propre aux groupes est présente pour toute opération de chiffrement ou déchiffrement. L'art n'est pas en reste, que ce soit en musique, littérature ou peinture.