Hors-série 13 - Infini + supplément spécial TIPE
Collectif Tangente
Présentation
SOMMAIREDossier 1 : Du fini à l’infini et réciproquement
Comment définir l’infini? Comment énoncer une infinité de vérités’ Comment donner un sens à une somme infinie de nombres’ Les réponses à ces questions exigent de contester l’axiome intuitif qui postule que le tout est plus grand que la partie.
Le cauchemar du bibliothécaire / Différents et pourtant égaux / L’univers est-il fini? / Un outil pour scruter l’infini / L’induction mathématique / Quand la récurrence imagine / La descente infinie / Les sommes infinies de Leonhart Euler
Dossier 2 : Les paradoxes de l’infini
Les paradoxes sont la voie royale pour accéder aux vérités les plus profondes. À commencer par celle qui affirme qu’il existe une infinité d’infinis différents.
Hôtel Hilbert / Le paradoxe de la biographie / Le paradoxe de Jules Richard
Dossier 3 : Discret et continu
Le discret et le continu sont les deux notions les plus fondamentales qui structurent les mathématiques ; la première est formalisée par les entiers naturels, la seconde par les nombres réels.
Avec trois fois rien / Des rationnels pour atteindre les réels / Étiqueter les rationnels / Le labyrinthe du continu / La diagonale de Cantor
Dossier 4 : Du fini à l’infini et réciproquement (2)
L’homme est un système sophistiqué à un nombre fini d’états. Qu’il puisse concevoir, penser, manipuler l’infini est une énigme. Non moins étonnantes sont les méthodes imaginées pour appréhender l’infini par le truchement du fini.
Ramener l’infini au fini en géométrie / La méthode de Monte-Carlo / Le "fini" en topologie : les compacts / L’analyse non standard, la théorie des ordres de grandeur / L’axiome du choix / Le fini, le discret, le continu en calcul des probabilités / Le théorème de Cantor-Schröder-Bernstein / Les nombres d’ordre ou le transfini / Êtes-vous cohérent’
Dossier 5 : Discret et continu (2)
Le continu est-il une illusion’ L’espace et le temps ont-il une nature discrète? Ces questions soulèvent des problèmes extraordinairement difficiles. Paradoxalement, dans certaines situations, "continu" se conjugue avec "simplicité".
Combien pèsent les rationnels’ / La constante de Planck / Jeux à discrétion / Les tribulations d’un moine zen / L’intuitionnisme / Le paradoxe du menteur revisité
