Preuves sans mot

Roger Nelsen

Présentation

«Que sont des "preuves sans mots" ? Comme vous le verrez au fil de ce recueil, la question n'admet pas de réponse simple et concise. Le plus souvent, il s'agit de figures, schémas ou diagrammes qui aident le lecteur à comprendre pourquoi un énoncé mathématique particulier peut être vrai.

Note de lecture Tangente

Dessine-moi une preuve…

Ces « preuves sans mots » ont été publiées tout d’abord dans les revues de la Mathematical Association of America, association qui fédère les enseignants de mathématiques américains. Certaines sont très anciennes, comme les démonstrations du théorème de Pythagore à l’aide de puzzles. D’autres ont été imaginées au fil du temps, par des professionnels ou des amateurs.

Ces preuves ont tout d’abord un attrait esthétique : elles illustrent une idée qui permet de se convaincre de la vérité d’une formule ou d’un théorème, et le fait qu’une idée puisse être totalement acceptée comme vraie à l’aide d’un simple dessin touche à la beauté intrinsèque des mathématiques. Elles nous amènent ensuite à réfléchir au statut de la preuve en mathématiques. Qu’est-ce qu’une démonstration ? C’est tout simplement un raisonnement qui permet de convaincre les membres de la communauté mathématique. Souvent les preuves sans mots s’appuient sur un cas particulier, qui permet au « lecteur » d’imaginer la généralisation aux cas quelconques. Mais si un dessin montre quelque chose, il faut aussi parfois s’en méfier : il représente toujours un cas particulier. Ensuite, le dessin peut nous tromper en nous faisant croire à des faits impossibles : un angle qui semble être aigu mais qui, avec les données de la situation, ne peut être qu’obtus.

L’ouvrage adapté par Hermann réunit les preuve sans mots des deux volumes de Proofs Without Words, et les réorganise en thèmes : géométrie et algèbre, trigonométrie, géométrie analytique, calcul différentiel et intégral, inégalités, entiers et somme d’entiers, combinatoire, suite et séries, algèbre linéaire.