Catégories analogues d'accumulations discrètes

Li Shanlan

Présentation

Description de l'ouvrage

Combien de fûts de vin peut-on empiler pour former une pyramide tronquée dont les dimensions sont données ? Comment représenter la suite de nombres impairs 1, 3, 5, 7,… en lien avec leurs sommes partielles 1, 4, 9, 16, … ?
Pour répondre à de telles questions, à partir du XIe siècle, une véritable discipline mathématique, connue sous le nom d’« accumulations discrètes », se forma en Chine. Elle se nourrit d’abord de la géométrie et de l’algèbre avant de prendre une tournure proprement arithmétique et indépendante des neuf thèmes établis dans le canon des mathématiques chinoises depuis le premier siècle. L’auteur des Catégories analogues d’accumulations discrètes (1867), Li Shanlan, se prévaut d’être le premier à avoir théorisé le domaine. Mais quelle forme pourrait prendre une théorie mathématique en l’absence de tout discours démonstratif ?

La lecture des Catégories analogues montre en effet que l’organisation des ensembles d’objets mathématiques traités en quatre livres suit une logique strictement déductive combinée à une argumentation, tout aussi strictement, inductive. C’est sur la base d’une série de triangles arithmétiques, en commençant par celui connu en Occident sous le nom de Triangle de Pascal (déjà présent en Chine depuis au moins le XIIe siècle), que Li Shanlan établit un grand nombre de « formules », dont la fameuse identité combinatoire qui porte son nom. Font partie de sa boîte à outils le langage naturel avant tout, les tableaux de baguettes à calcul, des diagrammes représentant les suites des nombres et, implicitement, sa familiarité avec les Éléments d’Euclide.


Biographie de l'auteur

Li Shanlan (1810-1882), grand mathématicien des Qing, se situe au carrefour des mathématiques traditionnelles chinoises et occidentales. Il fut traducteur d’ouvrages scientifiques en langue anglaise et enseigna vers la fin de sa vie au Collège des Interprètes à Pékin. Ses étudiants devaient maîtriser l’algèbre de deux façons : par le langage symbolique des mathématiques occidentales et en suivant les conventions de la méthode de l’inconnue céleste des dynasties des Song et des Yuan. L’oeuvre de Li Shanlan reflète et combine cette double orientation, car il rédigea des ouvrages aussi bien en continuation des thèmes de la tradition algorithmique chinoise que sur des sujets « modernes », comme la théorie des nombres premiers, les fonctions elliptiques, ou les logarithmes.

Andrea Bréard a été professeure d’histoire des sciences à l’Université Paris-Saclay, puis professeure « Alexander von Humboldt » de sinologie à la Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg où elle est titulaire de la chaire « Histoire culturelle et intellectuelle de la Chine ». Elle consacre ses recherches aux mathématiques chinoises et à l’histoire des nombres en Chine, allant des inscriptions oraculaires des Shang aux statistiques d’aujourd’hui. Parmi ses publications en rapport avec la présente traduction, on peut citer Nine Chapters on Mathematical Modernity. Essays on the Global Historical Entanglements of the Science of Numbers in China, Springer, 2019.

Note de lecture Tangente

Chine : faire des mathématiques autrement

Ce livre ouvre les portes sur les mathématiques chinoises du XIX^e siècle, paradoxalement beaucoup moins connues en France que celles de l’Antiquité. À l’époque, la Chine développe de nombreux échanges avec l’Occident ; les mathématiques en sont un point important. Cela ne manque pas de susciter le débat : au début de sa carrière, Li Shanlan (1811‒1882) défend la position, alors en vogue (il l’abandonnera plus tard), selon laquelle toutes les mathématiques européennes ne seraient que des développements dont l’essence est déjà contenue dans les travaux de la Chine ancienne.

Li Shanlan, qui a activement contribué à des traductions des Éléments d’Euclide (vers ‒ 300) et des Principia de Newton (fin du XVII^e siècle), propose ici un ouvrage d’arithmétique, d’algèbre et de combinatoire fondé en grande partie sur l’approche figurée des nombres et l’utilisation de schémas. Il se propose, en 1867, de se démarquer de la tradition ancienne des Neuf Chapitres (entre ‒ 200 et + 300) en fusionnant mathématiques occidentales et chinoises d’une manière qui nous invite à concevoir la construction de résultats mathématiques de façon tout à fait renouvelée.

Enfin, l’introduction de la sinologue allemande et historienne des mathématiques Andrea Bréard est passionnante, qu’il s’agisse du contexte intellectuel chinois de l’époque, des notations algébriques en écriture chinoise ou encore concernant la vie riche de Li Shanlan… qui fut également poète !