Les métamorphoses du calcul

Gilles Dowek

Présentation

Plusieurs avanc�es math�matiques importantes remettent en cause, depuis les ann�es la fin du XXe si�cle, la longue pr��minence du raisonnement sur le calcul. Cette v�ritable r�volution nous am�ne � repenser le dialogue des math�matiques avec les sciences de la nature. Elle �claire d'une lumi�re nouvelle des concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synth�tique. Elle nous am�ne aussi � nous interroger sur les liens entre les math�matiques et l'informatique, et sur la singularit� des math�matiques qui est longtemps rest�e l'unique science � ne pas utiliser d'instruments.
Enfin, et c'est certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles mani�res de r�soudre des probl�mes math�matiques, qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du pass� a impos� � la taille des d�monstrations : les math�matiques sont peut-�tre en train de partir � la conqu�te d'espaces jusqu'alors inaccessibles.

Note de lecture Tangente

Remettre le calcul au coeoeur des maths

 À l’origine était le calcul : dans toutes les cultures, les mathématiques lui réservent, à leurs débuts, une place prépondérante (utilisation de méthodes quasi algorithmiques en Chine ou en Mésopotamie pour résoudre des problèmes pratiques, algorithme d’Euclide en Grèce…). L’apport fondamental des Grecs est d’introduire des raisonnements sur des quantités infinies (comme l’ensemble des nombres premiers). Dès lors, le raisonnement et la construction d’une démonstration prendront peu à peu l’ascendant sur le calcul, évolution qui culminera au début du XXe siècle avec l’introduction de méthodes axiomatiques au moment d’une vaste réflexion sur les fondements mêmes des mathématiques. On a effectivement imaginé pouvoir construire toute démonstration sur des règles de déduction, à partir d’axiomes (cf. le programme de Hilbert).