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Bib 49 - Les maths de l'impossible
Collectif Pole
Présentation
SOMMAIREImpossibles ces figures’ / Littlewood, le mathématicien qui tutoyait l'impossible
Dossier : 1 C'est impossible, on l'à montré!
De nombreux problèmes datant de l'Antiquité ont été prouvés insolubles, alors même qu'ils étaient bien posés. Certains sont devenus de grands classiques.
La quadrature du cercle/ La trisection de l'angle / Impossible est-il géométrique? / Rapports d'engrenages impossibles: comment ne pas se casser les dents / Des imaginaires parfois complexes / Quand des systèmes élémentaires sont impossible / Systèmes linéaires impossibles et inverses généralisés / Raymond Queneau et les équations de degré 5 / Un découpage paradoxal et néanmoins rigoureux / Théorème d'impossibilité relatifs à des élections / Algorithmes numériques impossibles
Dossier 2 : Variations autour de la notion de preuve
Les sciences progressent souvent en posant des questions qui reflètent l'intuition de leur auteur. En mathématiques, ces questions reçoivent le nom de conjectures. Parfois des démonstrations sont fournies, mais si difficiles à reproduire qu'un doute subsiste sur leur validité. L'outil informatique peut alors être d'un grand secours.
La notion d'axiome à travers les siècles / Le statut particulier des conjectures / Les grandes conjectures / L'impossible de Gödel : la fin d'un rêve / Des preuves inacceptables ?/ Les grands théorèmes / Le monumental théorème de Feit-Thompson reçoit une preuve formelle /Quand les calculs deviennent impraticables
Dossier 3 : Ils existent, mais où sont-ils ?
En mathématiques, il est possible de démontrer que des objets existent sans jamais les exhiber. On parle alors de preuves non constructives. Cela pose sous un angle nouveau la question de l'existence en mathématique: suffit-il de définir un concept pour lui donner vie, ou doit-on explicitement le construire ?
L'échelle de l'existence mathématique / Impossibles, les événements de probabilité nulle? / Les infinitésimaux nilpotents pour l'analyse / Les fonctions réciproques / Les fonctions implicites
Dossier 4 : Jouer avec l'impossible
Il est facile, si l'on n'y prend garde, de tomber dans le piège d'un raisonnement subtilement erroné. Plusieurs paradoxes reposent sur de telles manipulations. Des esprits curieux vont alors explorer les conséquences des règles de la logique, par exemple pour résoudre un problème d'apparence impossible dont il semble que toutes les données soient manquantes.
Le problème impossible / Un problème impossible et néanmoins soluble!/ Magiciens de père en fils / Paradoxes et démonstrations paradoxales / Les bijections inattendues / On va faire un petit tour... en base 4 / Ces extraordinaires courbes de remplissage / Les jetons bicolores / L'égalité de tous les réels ou le théorème de l'impôt cible / Impossible, même à un Dieu omnipotent’ / Les chaussettes de Ramsey / Les trois dès
Et toujours
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